dot product ·

a \cdot b = |a||b|\cos\theta = x_1x_2+y_1y_2

数量积：用一个数刻画夹角与垂直

前面的加、减、数乘都把向量映到向量。数量积 (dot product) $a \cdot b$ 则把两个向量映到一个数。它有两种等价形式：几何式 $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$ （ $\theta$ 是两向量的夹角），与坐标式 $a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2$ 。前者阐明其几何含义，后者便于直接计算。

数量积的几何含义是投影 (projection)： $a \cdot b$ 等于 $b$ 在 $a$ 方向上的投影长度 $|b|\cos\theta$ ，再乘以 $|a|$ 。由此立刻得到两条常用结论：夹角 $\cos\theta = a \cdot b / (|a||b|)$ ，以及垂直判定 $a \cdot b = 0 \iff a \perp b$ （此时 $\cos\theta = 0$ ， $\theta = 90°$ ）。

1 · 两式对照与投影

a\cdot b = |a||b|\cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2

$a \cdot b$ 的符号直接给出夹角类型：为正是锐角、为负是钝角、为零则两向量垂直。

图 1-1 ·

b

在

a

上的投影向量与那条垂线，几何式与坐标式两种算法并排给出且结果始终相等。可拖动端点（吸附到整数格），接近垂直时读数高亮。

注 · 投影长度 $|b|\cos\theta$ 是带符号的：当夹角为钝角时 $\cos\theta < 0$ ，投影落在 $a$ 的反方向一侧，投影长度为负， $a \cdot b$ 也随之为负。这正是数量积能一并区分同向、垂直、反向三种关系的原因——一个数里既有大小、又有正负号。

2 · 参考文献

Dot product. Wikipedia. 几何式与坐标式的等价性、运算律与垂直判定。https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
Law of cosines. Wikipedia. 几何式与坐标式等价的一条标准证法。https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines
Inner product space. Wikipedia. 数量积作为内积的公理化推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space