dot product · a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂+y₁y₂

数量积：用一个数刻画夹角与垂直

前面的加、减、数乘都把向量映到向量。数量积(dot product) $a\cdot b$ 则把两个向量映到一个数。它有两种等价形式：几何式 $a\cdot b = |a||b|\cos θ$ （θ 是两向量的夹角），与坐标式 $a\cdot b = x_1x_2 + y_1y_2$ 。前者阐明其几何含义，后者便于直接计算。

数量积的几何含义是投影(projection)： $a\cdot b$ 等于 b 在 a 方向上的投影长度 |b|cosθ，再乘以 |a|。由此立刻得到两条常用结论：夹角 $\cos θ = a\cdot b / (|a||b|)$ ；以及垂直判定 $a\cdot b = 0 ⟺ a ⊥ b$ （此时 cosθ = 0，θ = 90°）。

1 · 拖动两向量，对照两式、观察投影

a\cdot b = |a||b|\cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2

拖动 a、b 的端点（吸附到整数格）。画布画出 b 在 a 上的投影向量与那条垂线，右下方并排给出几何式与坐标式两种算法——它们的结果始终相等。 $a\cdot b$ 的符号直接给出夹角类型：为正是锐角、为负是钝角、为零则两向量垂直，此时读数会高亮。

投影长度 |b|cosθ 是带符号的：当夹角为钝角时 cosθ < 0，投影落在 a 的反方向一侧，投影长度为负， $a\cdot b$ 也随之为负。这正是数量积能一并区分「同向 / 垂直 / 反向」三种关系的原因——一个数里既有大小、又有正负号。