projection ·

|b|\cos\theta

\frac{a \cdot b}{|a|^2} a

投影向量与投影数量

数量积已经给出 $a \cdot b$ 的几何读法： $b$ 在 $a$ 方向上投影的长度，乘以 $|a|$ 。在那一页里「投影」只是一句解释；本页把它拆成两个类型不同的对象——一个实数与一个向量——并给出它们唯一存在的分解定理。

1 · 两种投影的分工

s = |b|\cos\theta

b_\parallel = \frac{a \cdot b}{|a|^2} a

设 $a$ 非零， $\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角。 $b$ 在 $a$ 上的投影数量 (scalar projection) 与投影向量 (vector projection) 分别定义为

s = |b|\cos\theta = \frac{a \cdot b}{|a|}, \qquad b_\parallel = \frac{a \cdot b}{|a|^2}\, a = s \cdot \frac{a}{|a|}

两者只差一次数乘：投影向量等于投影数量乘以 $a$ 的单位向量。类型的差别带来三处不能混用的地方。其一，投影数量带符号， $\theta$ 为钝角时取负值；投影向量把同一个符号表达成方向，指向 $a$ 的反向。其二，投影数量的绝对值才是投影向量的模， $|b_\parallel| = |s|$ 。其三，两者对 $a$ 的依赖方式不同：把 $a$ 换成 $2a$ ， $s$ 与 $b_\parallel$ 都不变；把 $a$ 换成 $-a$ ， $s$ 变号而 $b_\parallel$ 纹丝不动，因为分子分母各变一次号。

由投影数量的定义可把数量积改写成 $a \cdot b = |a| \, s$ ，即一个向量的模乘上另一个向量在它方向上的投影数量。这个式子对两个向量是对称的： $a \cdot b$ 也等于 $|b|$ 乘 $a$ 在 $b$ 上的投影数量。

2 · 正交分解

b = b_\parallel + b_\perp

定理 2.1 设 $a$ 非零。任一向量 $b$ 可唯一地写成 $b = b_\parallel + b_\perp$ ，其中 $b_\parallel$ 与 $a$ 共线， $b_\perp$ 与 $a$ 垂直。

证明存在性：取 $b_\parallel$ 为上节的投影向量， $b_\perp = b - b_\parallel$ 。前者是 $a$ 的数乘，与 $a$ 共线；后者与 $a$ 的数量积为

a \cdot b_\perp = a \cdot b - \frac{a \cdot b}{|a|^2}\,(a \cdot a) = a \cdot b - a \cdot b = 0

故与 $a$ 垂直。唯一性：设 $b = p + q = p' + q'$ 是两组这样的分解，则 $p - p'$ 与 $a$ 共线，同时又等于 $q' - q$ 、与 $a$ 垂直。与 $a$ 共线的向量形如 $\lambda a$ ，垂直条件给出 $\lambda |a|^2 = 0$ ， $a$ 非零迫使 $\lambda = 0$ ，两组分解相同。∎

这一分解称为 $b$ 沿 $a$ 的正交分解 (orthogonal decomposition)。它立刻给出两条常用结论： $|b|^2 = |b_\parallel|^2 + |b_\perp|^2$ ，即直角三角形的勾股关系；以及 $|b_\parallel| \le |b|$ ，等号当且仅当 $b$ 与 $a$ 共线。

换个角度，正交分解是平面向量基本定理取特定基底后的实例：以 $a$ 与 $a$ 的一个法向量为基底，二者不共线，分解的存在唯一性由那条定理直接承担，上面的证明只是把系数算了出来。

图 2-1 ·

b

沿

a

的正交分解。可拖动

a

、

b

的端点或切换夹角情形，观察投影数量的正负与两个分量的读数。

3 · 浮点意义下的正交

引擎的 decompose 照定义式实现，垂直分量取 $b - b_\parallel$ 。在画布可达的 195 个整点上穷举 $a$ 非零与 $b$ 的全部 $194 \times 195$ 种组合，两条恒等式都不精确成立： $b_\parallel + b_\perp$ 与 $b$ 的距离最大 $4.4 \times 10^{-16}$ ； $b_\parallel \cdot b_\perp$ 的绝对值最大 $1.2 \times 10^{-14}$ ，除以 $|b_\parallel| |b_\perp|$ 归一后仍有 $6.4 \times 10^{-15}$ ，最坏的一例是 $a = (-6, -2)$ 、 $b = (-7, -6)$ 。数量级不大，却足以让 dot(par, perp) === 0 这样的写法在多数输入上返回 false。判定垂直的 isPerp 因此比较 $|a \cdot b| \le \varepsilon |a| |b|$ 而非是否等于零，判据按两者的模归一，否则长向量的绝对残差会被误读成不垂直。

警示 ·「 $b$ 在 $a$ 上的投影」这句话本身有歧义，它可能指实数 $s$ ，也可能指向量 $b_\parallel$ ，两者的模相同而类型不同，行文中须写明取的是哪一个。另有一处不对称容易漏： $b$ 在 $a$ 上的投影数量是 $a \cdot b / |a|$ ， $a$ 在 $b$ 上的则是 $a \cdot b / |b|$ ，除非两者的模相等，这两个数并不一样。

4 · 参考文献

Vector projection. Wikipedia. 投影向量与投影数量的定义及两者的区别。https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_projection
Orthogonal decomposition. Wikipedia. 沿一个方向的正交分解及其唯一性。https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality
Gram–Schmidt process. Wikipedia. 正交分解在一般维数下的推广。https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process