数学 / 平面向量 · 从有向线段到数量积 / 向量法解平面几何与力学问题 待审核 6 / 6
apply · a⋅b=0a \cdot b = 0 · ∣a∣2=a⋅a|a|^2 = a \cdot a · W=F⋅sW = F \cdot s

向量法解平面几何与力学问题

综合几何的证明依赖辅助线与角度追踪，每一步都要另找理由。向量法换一条路径：先把图形里的条件翻译成运算，算完再把结果翻译回几何语言。翻译表只有几条，却覆盖了中学阶段的多数平面几何命题；同一套运算在力学里对应力的合成、分解与做功。

1 · 几何条件的向量译法

a⋅b=0a \cdot b = 0 · ∣a∣2=a⋅a|a|^2 = a \cdot a · b=λab = \lambda a

常用的对应关系可以列成一张表。左列是题面上的说法，中列是它在向量语言里的等价形式。

表 1-1 · 四类几何条件的向量译法，右列给出各自的依据。
几何条件 向量写法 依据
OA⊥OBOA \perp OB a⋅b=0a \cdot b = 0 数量积的垂直判定
线段 ABAB 的长度 ∣AB→∣2=AB→⋅AB→\lvert \overrightarrow{AB} \rvert^2 = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} 模的定义
AA、BB、CC 三点共线 AB→=λAC→\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC} 共线向量定理 §1
MM 是 ABAB 的中点 OM→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) 加法与数乘

表里第二行是向量法最省力的一处：求长度不必先解三角形，只要把线段写成向量再与自身作数量积。第三行把「共线」这种位置关系换成了一个待定实数，从而可与其他条件联立。重心的表达式 OG→=13(OA→+OB→+OC→)\overrightarrow{OG} = \tfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) 不在表内，它在 §3 顺带证出。

2 · 菱形对角线的垂直性

定理 2.1 菱形的两条对角线互相垂直。

证明 设菱形为 OACBOACB，两条邻边记作 OA→=a\overrightarrow{OA} = a、OB→=b\overrightarrow{OB} = b。菱形四边等长，故 ∣a∣=∣b∣|a| = |b|。两条对角线为 OC→=a+b\overrightarrow{OC} = a + b 与 BA→=a−b\overrightarrow{BA} = a - b。由数量积的分配律与交换律，

(a+b)⋅(a−b)=a⋅a−a⋅b+b⋅a−b⋅b=∣a∣2−∣b∣2=0(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = |a|^2 - |b|^2 = 0

两条对角线的数量积为零，二者垂直。∎

整个证明没有出现角度，也没有作一条辅助线：∣a∣=∣b∣|a| = |b| 这一个条件经 ∣a∣2=a⋅a|a|^2 = a \cdot a 转成数量积，展开后交叉项自动抵消。恒等式 (a+b)⋅(a−b)=∣a∣2−∣b∣2(a+b) \cdot (a-b) = |a|^2 - |b|^2 反过来读还给出判定：平行四边形的对角线互相垂直，当且仅当它是菱形。

图 2-1 · 平行四边形两条对角线的数量积。可切换邻边预设或拖动 aa、bb 的端点，观察两条邻边等长时数量积如何归零。

3 · 中线的共点性

定理 3.1 三角形的三条中线交于一点，且该点把每条中线分成 2:12 : 1 的两段。

证明 任取一点 OO 作起点，记 OA→=u\overrightarrow{OA} = u、OB→=v\overrightarrow{OB} = v、OC→=w\overrightarrow{OC} = w。设 MM 是 BCBC 的中点，则 OM→=12(v+w)\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}(v + w)。令点 GG 由 OG→=13(u+v+w)\overrightarrow{OG} = \tfrac{1}{3}(u + v + w) 确定，则

AG→=13(v+w−2u),AM→=12(v+w−2u)\overrightarrow{AG} = \tfrac{1}{3}(v + w - 2u), \qquad \overrightarrow{AM} = \tfrac{1}{2}(v + w - 2u)

两式相比得 AG→=23AM→\overrightarrow{AG} = \tfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}。由共线向量定理，GG 落在中线 AMAM 上，且 AG:GM=2:1AG : GM = 2 : 1。uu、vv、ww 在 GG 的定义式里地位对称，把上述推导中的 AA 换成 BB 或 CC 逐字成立，同一个 GG 因而同时落在三条中线上。∎

定义式里的起点 OO 可以任取而不影响 GG 的位置：换成 O′O' 后三个向量各加上 O′O→\overrightarrow{O'O}，右端整体也只加上同一个 O′O→\overrightarrow{O'O}，指到的仍是同一点。

medianMeet 把这条命题变成了可测的数：它联立 AA、BB 出发的两条中线求交点，再与重心公式的结果比对。在 11×1111 \times 11 的整点范围内穷举 1685928 个非退化三角形，交点在两条中线上的参数与 2/32/3 的双精度值逐个相等（差恰好是 0），而交点坐标与重心公式给出的坐标仍相差最多 9.4×10−169.4 \times 10^{-16}。偏差出在解出参数之后的那次乘加，不在解本身；把「共点」写成布尔判定时之所以必须给阈值，理由即在于此。

图 3-1 · 三角形的三条中线与重心。可拖动三个顶点，观察两条中线的交点与重心公式给出的坐标，以及该点到第三条中线的距离。

4 · 力的合成与分解

作用于同一点的两个力 F1F_1、F2F_2 的合力 (resultant force) 是它们的向量和，作图法则与向量加法的平行四边形法则逐字相同。反过来把一个力写成两个方向上的分力，就是投影页的正交分解。

斜面是最常见的一例。倾角为 θ\theta 的斜面上放一物块，重力 GG 竖直向下。取沿斜面向下的单位向量与垂直斜面的单位向量作基底，GG 的两个分量的大小分别是 ∣G∣sin⁡θ|G| \sin\theta 与 ∣G∣cos⁡θ|G| \cos\theta，平方和为 ∣G∣2|G|^2，即正交分解的勾股关系。倾角增大时沿斜面的分量变大、压向斜面的分量变小，物块由静到滑的临界条件正是前者超过最大静摩擦力。

图 4-1 · 斜面上重力的正交分解。可调倾角 θ\theta 与重力大小，观察两个分力的读数与它们的平方和。

5 · 恒力做功

恒力 FF 使物体产生位移 ss 时所做的功 (work) 定义为 W=F⋅s=∣F∣∣s∣cos⁡θW = F \cdot s = |F| |s| \cos\theta。功是标量，国际单位为焦耳。符号由夹角决定：θ\theta 为锐角时 W>0W > 0，为钝角时 W<0W < 0（滑动摩擦力对运动的物体做负功），FF 与 ss 垂直时 W=0W = 0（匀速圆周运动里向心力不做功）。

代一组数：F=(30,40)F = (30, 40) 牛、s=(5,0)s = (5, 0) 米时，坐标式给出 W=30×5+40×0=150W = 30 \times 5 + 40 \times 0 = 150 焦；几何式给出 ∣F∣=50|F| = 50 牛、∣s∣=5|s| = 5 米、cos⁡θ=0.6\cos\theta = 0.6，乘积同样是 150 焦。力与位移方向不一致时只有沿位移方向的那个分力做功，用上一页的语言说，WW 等于 ∣s∣|s| 乘 FF 在 ss 上的投影数量。

注 · 功的定义式是数量积在物理里的原型：先有「力沿位移方向的分量乘位移」这个量有物理意义，后有把它抽象成两个向量的运算。这也解释了数量积为何取标量作结果——功、通量这些量本身就没有方向。

6 · 参考文献

  1. Rhombus. Wikipedia. 菱形的判定，含对角线互相垂直这一充要条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombus
  2. Centroid. Wikipedia. 三角形重心的位置向量与 2:12 : 1 分比。https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid
  3. Work (physics). Wikipedia. 恒力做功 W=F⋅sW = F \cdot s 的定义与符号约定。https://en.wikipedia.org/wiki/Work_(physics)
  4. Inclined plane. Wikipedia. 斜面上重力的正交分解与滑动的临界条件。https://en.wikipedia.org/wiki/Inclined_plane