b² − 4ac < 0

实系数二次方程的复数根

$x^2 + 1 = 0$ 在实数范围内无解，这句话是复数的概念与复平面 §1 引入 $i$ 的由头。把它推广到一般的 $ax^2 + bx + c = 0$ （系数全为实数），就是本页的问题：判别式为负时方程在复数集内有几个根、这两个根之间是什么关系、根与系数的旧结论还成不成立。末两节交代复数进入数学的真实场合，以及这次扩充为何是最后一次。

1 · 判别式为负时的两个根

配方法对任何非零的 $a$ 都成立，与判别式的符号无关：

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

故方程等价于 $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ 。右端是一个实数，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 为负时它是负实数，而负实数在复数集内有两个平方根（见三角形式与乘法的旋转 §3）。求根公式于是照旧可用，只需把根号下的负数换个写法。

定义 1.1（实系数二次方程的复数根） 设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为实数且 $a \ne 0$ 。 $\Delta < 0$ 时方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 在复数集内有两个根

x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

根号下的 $4ac - b^2$ 为正，取算术平方根。

判别式的三档在复平面上是连续的一件事。 $\Delta > 0$ 时两个实根分居实轴上两点； $\Delta$ 减小，两点相向而行，在 $\Delta = 0$ 处撞在一起；越过零点后它们垂直离开实轴，成为一对关于实轴对称的点。实部一路钉在 $-b/(2a)$ 不动，动的只有虚部。

图 1-1 · 二次方程的两根随判别式移动，以及求根公式在大

b

处的抵消。可调

a

、

b

、

c

观察两根合并后离开实轴，或切换到第二栏按

b = 10^k

对照两条算路给出的小根。

判别式过零的那一点在浮点下判不准。 $x^2 - 0.1x + 0.0025$ 数学上是 $(x - 0.05)^2$ ，判别式应为零，而 0.1 * 0.1 - 4 * 0.0025 实测得 1.734723475976807e-18，符号为正，实现于是报出两个不等实根 0.05000000065854451 与 0.04999999934145549。判别式那 1.7e-18 的绝对误差被开方放大成 1.3e-9 的根间距——开方把误差的量级开了一次根号。把同一条抛物线的方程两边乘以 400，写成 $400x^2 - 40x + 1 = 0$ ，三个系数都能精确表示，判别式恰为 0，实现改报二重根。所以「 $\Delta$ 是否为零」这个判定依赖于方程写成什么样，不是曲线本身的性质。

求根公式还有一处与判别式符号无关的数值陷阱。 $\Delta > 0$ 且 $b$ 与 $\sqrt{\Delta}$ 量级相近时， $-b + \sqrt{\Delta}$ 这一步两项同号相减，有效位成批消失。取 $a = 1$ 、 $b = 10^8$ 、 $c = 1$ ，小根真值约为 $-10^{-8}$ ，求根公式给 -7.450580596923828e-9，相对误差 25.5%。改由 $q = -\bigl(b + \operatorname{sgn}(b)\sqrt{\Delta}\bigr)/2$ 定出两根 $q/a$ 与 $c/q$ ，两处都不再做同号大数相减，小根实测精确到 -1e-8。判别式为负时反倒没有这个问题：那时相加的两项一实一虚，不发生抵消。

2 · 实系数下的共轭根对

定义 1.1 的式子里，正负号只作用在虚部上，两个根实部相同、虚部相反。这不是二次方程独有的现象。

定理 2.1 设 $f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ 的系数全为实数。若复数 $z$ 满足 $f(z) = 0$ ，则 $\bar z$ 也满足 $f(\bar z) = 0$ 。

证明共轭与加法、乘法可交换次序（见四则运算与 i 的幂 §5），故 $\overline{f(z)} = \sum_k \overline{a_k z^k} = \sum_k \overline{a_k} \cdot \bar z^{\,k}$ 。系数为实数给出 $\overline{a_k} = a_k$ ，右端即 $f(\bar z)$ 。另一方面 $\overline{f(z)} = \bar 0 = 0$ ，两式相接得 $f(\bar z) = 0$ 。∎

「实系数」这个前提不能省。 $x^2 - ix = 0$ 的两个根是 $0$ 与 $i$ ，而 $-i$ 代进去得 $-1 - 1 = -2 \ne 0$ ：系数里只要出现一个虚数，共轭对称就断了。

两条推论此后要用。其一，实系数多项式的非实根成对出现，个数是偶数，故奇次实系数多项式至少有一个实根，三次方程尤其如此。其二，共轭在复平面上是关于实轴的镜像（见复数的概念与复平面 §3），所以一对虚根关于实轴对称，连线垂直于实轴，中点落在实轴的 $-b/(2a)$ 处。

3 · 复数域上的根与系数关系

韦达定理的推导只用到分解式，与根是实是虚无关。 $\Delta$ 取任何符号下都有 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ，展开右端并比较系数：

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

两根为共轭虚根时，这两个量为何是实数有直接的读法：和是 $z + \bar z = 2\operatorname{Re} z$ ，积是 $z \bar z = |z|^2$ 。前者说两根的实部同为 $-b/(2a)$ ，后者说两根的模同为 $\sqrt{c/a}$ ，即两个根落在以原点为心、 $\sqrt{c/a}$ 为半径的圆上。半径写得出来是因为 $\Delta < 0$ 蕴含 $ac > 0$ ，商 $c/a$ 必为正。这类以模为半径的圆见模与距离给出的轨迹 §2。

$x^2 - 2x + 5 = 0$ 是一个现成的例子：判别式 $-16$ ，两根 $1 \pm 2i$ ，和为 $2 = -b/a$ ，积为 $1^2 + 2^2 = 5 = c/a$ ，两根的模同为 $\sqrt 5$ 。

浮点下两支的表现并不对称，这是写核心模块的单测时撞出来的。18 万余组随机实系数（ $|a| \ge 0.2$ ， $b$ 与 $c$ 落在 $-10$ 到 $10$ 之间）实测：判别式为正一支，两根之积的相对残差最大 3.275e-14；判别式为负一支只有 4.410e-16，而两根之和的残差在全部样本上恒为 0。原因在共轭对的和是 $-b/(2a)$ 乘 2，乘 2 在二进制下只改阶码，一位有效数字都不丢；两个实根相加则要把 $+\sqrt{\Delta}$ 与 $-\sqrt{\Delta}$ 抵消掉，各自带进来的舍入留在了结果里。虚根那一支算得比实根一支更准，与「虚数更麻烦」的直觉相反。

4 · 卡尔达诺公式里的虚数弯路

二次方程的负判别式可以用一句「无实根」打发过去，因为要求的东西本来就不存在。三次方程没有这条退路：实系数三次方程至少有一个实根（§2 的推论），而求这个实根的公式会中途要求对负数开平方。

一般三次方程作代换 $x = t - b/(3a)$ 消去二次项，化为压缩形式 $t^3 + pt + q = 0$ 。卡尔达诺公式取

u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}, \qquad v = -\frac{p}{3u}, \qquad t = u + v

根号下那个量为负时，三个根全是实数而中间量 $u^3$ 是虚数。这一支叫不可约情形（casus irreducibilis）。它不是公式没选好：Wantzel 于 1843 年证明，方程在有理数域上不可约且三个根都是实数时，这些根无法只用实数范围内的根式表出。绕道复平面是必需的，不是偷懒。

Bombelli 1572 年《代数学》里的例子是 $x^3 = 15x + 4$ 。这个方程一眼看得出 $x = 4$ 是根，而公式给出 $u^3 = 2 + 11i$ 。Bombelli 把 $\sqrt{-121}$ 这样的量当作数来算，取 $u = 2 + i$ 、 $v = 2 - i$ ，两者相加得 $4$ 。实现里跑同一组数： $2 + 11i$ 的立方根取到 1.9999999999999996 + 1i，三个根算得 4、-3.7320508075688776、-0.26794919243112464，虚部最大只有 8.88e-16。复数在历史上第一次成为非算不可的东西，就是在这个位置，比它作为「 $x^2 = -1$ 的解」被接受早了两百多年。

图 4-1 · 卡尔达诺公式的中间量与压缩三次方程的三个根。可调

p

、

q

使

q^2/4 + p^3/27

的符号翻转，观察三个根全落回实轴而

u^3

仍是虚数的那一支。

照抄这条公式会在实数支上算崩，这是实现时踩到的。 $q > 0$ 时 $-q/2$ 与那个平方根异号且量级相近， $u^3$ 被抵消到近零，随后 $v = -p/(3u)$ 把误差放大回来。3000 组随机的 $p$ 与 $q$ 实测，照抄写法的最大代回残差是 3.9016e-6；把平方根取成与 $-q/2$ 同号之后降到 3.6629e-14。两种取法给出同一组根，因为另一支恰是 $v^3$ ， $u$ 与 $v$ 在公式里本就对称。

5 · 一次扩充的终点

复数是为解方程造出来的，接着的疑问是这条路要走多少轮：解 $x^2 = -1$ 造出 $i$ ，那么 $x^2 = i$ 、 $x^5 - x + 1 = 0$ 是否又各要造一批新数。

定理 5.1（代数基本定理） 次数不小于 1 的复系数多项式在复数集内至少有一个根。反复分出一次因式即得推论： $n$ 次复系数多项式在复数集内恰有 $n$ 个根（按重数计）。

本页不证这条定理，因为它的分量不在证法而在推论：复数集是一个代数闭域（algebraically closed field），对「解代数方程」这件事封闭。为解一个实系数方程造出的新数，把所有复系数方程一并解决了。数系扩充的这条线在此闭合：自然数不够减，补出整数；整数不够除，补出有理数；有理数不够开方与取极限，补出实数；实数不够解 $x^2 = -1$ ，补出复数。前四步各由一类解不出的方程逼出来，第五步之后再没有这样的方程。

「代数」基本定理这个名字有点名不副实。已知的证明没有一条是纯代数的：复分析路线用刘维尔定理，拓扑路线用绕数，最省代数外功夫的 Artin 路线也要借「奇次实系数多项式必有实根」这一条，而它本身靠介值定理。这并不奇怪——定理断言的是实数域这个特定对象的性质，而实数的定义里就含着完备性这条分析事实。相比之下，「复数集代数闭」这句话本身倒是纯代数的说法。

数系再往外扩并非没有先例：四元数、八元数都是。但它们不是为解方程造的，且每扩一步要交出一条运算律：四元数放弃乘法交换律，八元数再放弃结合律。代数方程这条线在复数处就停了。

6 · 参考文献

Fundamental theorem of algebra. Wikipedia. 定理的陈述与各类证明所依赖的分析事实。https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
Casus irreducibilis. Wikipedia. 三实根的不可约三次方程不能用实根式表出。https://en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis
Cubic equation. Wikipedia. 卡尔达诺公式、压缩形式与三次方程的判别式。https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation
Rafael Bombelli. Wikipedia. 1572 年《代数学》中用虚数算出 x³ = 15x + 4 的实根。https://en.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli
Vieta's formulas. Wikipedia. 根与系数的关系及其在复数域的形式。https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
Loss of significance. Wikipedia. 求根公式里 −b + √Δ 的抵消与数值稳定的写法。https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance