exponent · logarithm · 换底公式

指数与对数的运算

指数与对数的运算规则，是指数函数与对数函数得以成立的代数底座。这套规则的组织方式是先扩充记号再扩充法则：把根式改写成分数指数幂，整数指数下的三条法则便原样适用于有理指数；再把「 $a$ 的多少次幂等于 $N$ 」这个问句记作对数，指数法则逐条翻译过来就成了对数法则。

1 · 根式与分数指数幂

分数指数幂 · 对数 · 换底公式

$n$ 次方根的记号 $\sqrt[n]{a}$ 与幂的记号本可以统一。约定 $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ 、 $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ （ $a > 0$ ， $m, n$ 为正整数），再约定 $a^{-p} = 1 / a^p$ ，指数就从整数扩到了全体有理数。

底数为正这个前提不能省。 $a < 0$ 时 $a^{m/n}$ 的值依赖分数 $m/n$ 的具体写法： $(-8)^{1/3} = -2$ 而 $(-8)^{2/6}$ 按定义应是 $\sqrt[6]{64} = 2$ ，同一个指数化简前后给出不同结果。指数函数的底因此规定为正数。

2 · 幂的运算法则

三条法则在 $a, b > 0$ 且指数为任意有理数时成立：

a^{r} a^{s} = a^{r+s}, \qquad (a^{r})^{s} = a^{rs}, \qquad (ab)^{r} = a^{r} b^{r}

第一条是主干，另外两条可由它推出。注意没有「 $a^r + a^s$ 」的化简法则——加法在指数运算里不封闭， $2^3 + 2^4$ 只能算成 24，写不成 2 的某个整数次幂。

3 · 对数的定义与运算法则

定义 3.1（对数） 设 $a > 0$ 且 $a \ne 1$ 。若 $a^b = N$ ，则称 $b$ 是以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $b = \log_a N$ ，其中 $a$ 称为底数， $N$ 称为真数。

真数必须为正，因为 $a^b$ 恒为正。由定义直接得到两个恒等式： $\log_a 1 = 0$ 与 $\log_a a = 1$ 。三条运算法则则是幂运算法则的逐条翻译：

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N, \qquad \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N, \qquad \log_a M^{n} = n \log_a M

第一条的证明只需设 $M = a^{p}$ 、 $N = a^{q}$ ，则 $MN = a^{p+q}$ ，两边取对数即得。对数把真数上的乘除降为对数值上的加减，这正是对数表与计算尺曾经通行的理由。

4 · 换底公式

\log_a N = \frac{\log_c N}{\log_c a} \quad (c > 0,\ c \ne 1)

它意味着任何底的对数都能由某一种底算出，所以计算器只需提供常用对数 $\lg$ 与自然对数 $\ln$ 两个键。 $\log_2 10$ 的值即 $\lg 10 / \lg 2 = 1 / \lg 2$ 。

图 4-1 · 对数曲线上取 x、y 与 xy 三点，虚线给出各自的高度，第三点的高度等于前两点之和。可调底 a 与两个真数，表格逐条列出四个恒等式两边的十位小数与差值。

浮点下这四条恒等式两边并不逐位相等。取底 2、真数 3 与 5、指数 3，实测差值分别是：乘法法则 $4.44 \times 10^{-16}$ ，除法法则 $-1.11 \times 10^{-16}$ ，幂法则 $8.88 \times 10^{-16}$ ，只有换底公式两边逐位相同。第一个差值恰是 2 个 Number.EPSILON。原因是两边走的是不同的计算路径——一边先把真数相乘再取一次对数，另一边取两次对数再相加，各自的舍入误差没有理由抵消。换底那一行相等则是巧合而非保证，换一组参数同样会差一两个 ulp。

5 · 参考文献

Exponentiation. Wikipedia. 整数、有理数指数的定义与三条幂运算法则。https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Nth root. Wikipedia. 根式记号与分数指数幂的统一。https://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root
Logarithm. Wikipedia. 对数的定义、运算法则与换底公式。https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
Slide rule. Wikipedia. 对数把乘除降为加减这一性质的历史用途。https://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule