指数函数 $y = a^x$：底是常数

指数函数（exponential function）形如 $y = a^x$：底 $a$ 是常数，指数 $x$ 是自变量。它与幂函数 $y = x^\alpha$ 恰好把底与指数的角色对调，是最容易混淆的一对。

1 · 底的取值范围

定义要求 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，两条各有各的理由。

$a > 0$ 是为了让定义域能取到全体实数。$a < 0$ 时 $a^x$ 对多数实数指数无定义：$(-2)^{1/2}$ 在实数范围内不存在，而 $(-2)^{1/3}$ 与 $(-2)^{2/6}$ 又会因指数的写法不同而给出不同的值（见指数与对数的运算）。要保住一个处处有定义、且不依赖指数写法的函数，底只能取正。

$a \ne 1$ 排除的是退化情形。$1^x$ 恒等于 $1$，图象是一条水平直线，既不单调、值域也只有一个点，与指数函数的全部特征都不符。

2 · 图象的不变特征

无论 $a$ 取何值，三条特征都不变。曲线恒过定点 $(0, 1)$，因为 $a^0 = 1$。定义域是全体实数，值域是 $(0, +\infty)$。$x$ 轴（即直线 $y = 0$）是水平渐近线，曲线无限贴近它却不相交。

单调方向由 $a$ 与 $1$ 的大小裁定：$a > 1$ 时单调递增且 $a$ 越大上升越陡，$0 < a < 1$ 时单调递减。两种情形的图象关于 $y$ 轴对称，因为 $(1/a)^x = a^{-x}$。

同底的指数函数 $a^x$ 与对数函数 $\log_a x$ 互为反函数，把这条曲线关于直线 $y = x$ 反射即得对数函数的图象。

3 · 值域为正在双精度下失效

「指数函数的值永远为正」是一条数学结论，在代码里它不成立。双精度能表示的最小正数是 $2^{-1074}$（约 $4.94 \times 10^{-324}$，一个次正规数），再往下就没有格子了。实测 2 ** -1074 得 $4.94 \times 10^{-324}$，而 2 ** -1075 精确地得 0——不是一个很小的正数，是零本身。

另一端同样有界。2 ** 1023 得约 $8.99 \times 10^{307}$，2 ** 1024 得 Infinity。所以在 double 里，$y = 2^x$ 的「值域」是 $[0, +\infty]$ 的一个有限子集，$x$ 轴不再是渐近线而是被真正触到的一条线，$x < -1075$ 的整段图象与 $x$ 轴重合。

4 · 参考文献

1. Exponential function. Wikipedia. 指数函数的定义、性质与底的取值限制。https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function
2. Exponentiation. Wikipedia. 负底数配实指数为何无法一致定义。https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
3. Subnormal number. Wikipedia. 次正规数与双精度的最小正数 $2^{-1074}$。https://en.wikipedia.org/wiki/Subnormal_number