monotonic · 任取

x_1 < x_2

比较

f(x_1)

与

f(x_2)

单调性：随 x 增大，函数值升还是降

单调性刻画一条曲线在某段区间上往哪个方向走。它的定义不依赖斜率，也不涉及某一点的局部信息，只用两点的函数值作比较——这使它在不谈导数的阶段就能被精确定义。

1 · 定义中的全称量词

increasing · decreasing · 任取两点

定义 1.1（单调递增与单调递减） 设函数 $f$ 的定义域包含区间 $I$ 。若对 $I$ 内任取的 $x_1 < x_2$ 都有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，则称 $f$ 在 $I$ 上单调递增；若都有 $f(x_1) > f(x_2)$ ，则称 $f$ 在 $I$ 上单调递减。

定义里的量词是全称的：递增不是「有时升」，而是区间内每一对点都满足那个不等式。单看一对点只能否证、不能证明——找到一对使 $f(x_1) \ge f(x_2)$ 便足以断定不递增，而任意多对都满足也证不出递增。

不等号取严格还是非严格是两套口径。定义 1.1 取严格，得到的是严格递增；把 $<$ 换成 $\le$ 得到的是单调不减，常值函数满足后者而不满足前者。本系列一律取严格口径，说「递增」即指严格递增。

图 1-1 · 曲线上相邻两点的高低比较，以及按各区间升降分段着色的结果，绿底为递增区间、红底为递减区间。可拖动左端点，观察一对点的结论与整个区间的结论何时不一致。

2 · 单调区间不能求并

intervals ·

A \cup B

上未必单调

单调性是相对区间而言的，脱离区间说「这个函数递增」没有意义。 $f(x) = x^2$ 在整个定义域上既不递增也不递减，拆成 $(-\infty, 0]$ 与 $[0, +\infty)$ 两段之后分别递减、递增。

警示 · 两个区间上各自递减，不能推出并集上递减。 $f(x) = 1/x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减、在 $(0, +\infty)$ 上也递减，但在两者的并集上不递减：取 $x_1 = -1$ 、 $x_2 = 1$ ， $f(x_1) = -1$ 小于 $f(x_2) = 1$ ，不等号反了向。原因是定义 1.1 要求 $x_1$ 、 $x_2$ 在同一个区间内任取，而这两点跨过了不在定义域里的 $x = 0$ 。所以单调区间要写成「在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0, +\infty)$ 上分别递减」，中间用「与」而不能用并集符号。

3 · 采样证不出单调性

sampling · 相邻两点全升

\ne

单调

程序判定单调性的通常做法是等距取样、逐对比较相邻两点。这条做法能发现下降，却不能证明上升——定义要求的是任取两点，而采样只查了相邻的那些对。

漏检不是极端情形下才发生。取 $f(x) = x^3 - x$ ，它在 $x = \pm 1/\sqrt{3} \approx \pm 0.5774$ 处有局部极值，中间那一段确实下降。把它放在 $[-10, 10]$ 上等距取样逐对比较， $n = 1$ 到 $10$ 段一律报「处处递增」，误判一直持续到 $n = 18$ 段（步长 $1.1111$ ）。

更值得记的是加密并不单调地改善： $n$ 取 $11$ 、 $13$ 、 $15$ 、 $17$ 都能抓到那段下降，而 $n$ 取 $12$ 、 $14$ 、 $16$ 、 $18$ 又漏掉了。原因是采样点的位置与那个宽约 $1.15$ 的下降区间是否对齐，取决于步长与端点的配合，与步长的大小并不单调相关。把区间收窄到 $[-2, 2]$ 后只有 $n = 1$ 与 $n = 2$ 会误判，因为下降段占了区间的更大比例。

所以「加密采样直到结论不变」不是一条可靠的判据。要断言单调，得回到解析式：或者用定义作差比较 $f(x_2) - f(x_1)$ 的符号，或者用导数的符号。

4 · 参考文献

Monotonic function. Wikipedia. 单调性的定义，含严格与非严格两套口径。https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
Interval (mathematics). Wikipedia. 区间的记法，以及单调区间为何不能求并。https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)