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解三角形 · 六个元素里的三个

三角形的六个元素之间只有三个自由度。给定三个元素（三个角除外，那只定形状不定大小），其余三个原则上就被定住了——「解三角形」这个名字说的正是这件事：把剩下的三个算出来。

完成这件事只需两条定理。正弦定理管「边与它的对角」这一对，形式最简单，还顺带给出外接圆半径；余弦定理管「一个角与三条边」，它把勾股定理推广到任意三角形，cos⁡C\cos C 的符号直接给出这个角是锐角、直角还是钝角。两条定理的分工可以按已知元素的类型排成一张表，唯一的麻烦落在「两边及其中一边的对角」上：正弦定理给出 sin A 之后，锐角与钝角两个候选都可能成立。

本系列前两页各走一条定理，把每一类已知条件对应哪条定理、会解出几组解交代清楚；后两页处理派生量。面积那一页把四个公式并排跑：½ab·sin C、海伦公式、Kahan 的稳定形式与坐标叉积，在寻常三角形上它们一致到小数第十几位，在细长三角形上却能一同归零——而失效的根源不在公式，在「顶点坐标换算成边长」那一步。最后一页把仰角、俯角与方位角化归成三角形的已知元素，并量一下两个仰角接近时误差被放大多少倍。

正弦定理与余弦定理

两条定理各管一类对应关系：正弦定理绑「边与对角」，余弦定理绑「一个角与三条边」。两页分别给出证明、适用的已知条件类型，以及「两边及一对角」为何会有两组解。

a/sin A = 2R

正弦定理与两解的来历

三条边与它们的对角之比相等，公共值是外接圆直径。已知两角一边时解唯一，已知两边及其中一边的对角时可能有两组解，而两解的来历是一个圆与一条射线交了两个点。

 勾股定理的推广

余弦定理与边角互化

把勾股定理加上一个修正项 −2bc·cos A，就得到对任意三角形都成立的余弦定理。反解出的 cos A 符号直接判定这个角是锐角、直角还是钝角。

两解的切点在浮点下并不「恰好一解」

「两边及一对角」的边界情形是 a·sin B = b，此时圆与射线相切，数学上只有一组解。实测取 a = 5、B = 30°、b = 2.5：5 · Math.sin(Math.PI / 6) 算出的是 2.4999999999999996 而不是 2.5，于是 sin A = 0.9999999999999998，反解得 89.99999879258174° 与 90.00000120741826° 两个候选，两者都通过内角和检验。换一条独立路线（把 A 看成「以 C 为心、半径 b 的圆」与「过 B 的射线」的交点）同样数出两个交点：判别式是 3.55e-15 而不是 0，两个参数值相差 1.19e-7。两条路线一致地多数出一个，故单测只能断言两者一致，不能断言数学上的一解。 面积公式与实地测量

面积有四种算法，在寻常三角形上互相印证，在细长三角形上一同失效；形状判定只需看最大边的对角。测量那一页把仰角、俯角与方位角折成三角形的已知元素，并交代方案选择上的一处敏感度问题。

½ab·sin C · 海伦公式

三角形面积与形状判定

面积的四种算法在寻常三角形上互相印证，在细长三角形上一同失效，而失效的根源不在公式而在边长的换算。形状判定只需看最大边的对角。

 基线 · 交会定位

实地测量：仰角与方位角

仰角与俯角量在竖直平面内，方位角量在水平面内。测量问题的化归只有一步：把这些角折成某个三角形的已知元素，剩下的交给两条定理。

Kahan 的排序形式救不了细长三角形

常见说法是「海伦公式在细长三角形上不稳，改用 Kahan 的排序形式即可」。实测只对一小段成立：顶点取 (0,0)、(1000,0)、(500, h)，精确面积是 500h。h = 1e−2 时海伦的相对误差 3.97e−7、Kahan 1.12e−7，只赢 3.5 倍；h = 1e−3 时两者只差 1 ulp，相对误差同为 5.29e−6；h = 1e−6 时两者一同给出 0。根源不在面积公式：舍入后的两条腰长之和恰好等于底边，三角不等式在浮点下已不成立，高度那点信息在算边长时就丢光了。要精度就不要绕道边长，直接用坐标叉积。

测量方案的取舍在几何而不在公式

同一竖直平面内两点测同一目标的仰角，高度是 h = d / (cot α − cot β)。两个仰角一接近，分母趋零，误差就被放大。实测 d = 100 时：α = 30°、β = 60° 给出 h = 86.60，敏感度 dh/dβ = −1.745 每度；α = 30°、β = 30.1° 给出 h = 14367.23，敏感度 −143239.59 每度，放大约 8.2 万倍。后一组里 β 只多读出 0.1°，算出的高度就从 14367 掉到 7205，少了一半。所以两个测站必须拉开到两个仰角差得开，这一条比换公式管用。

相关链接

两条定理

面积与形状

实地测量