y = \tan x

T = \pi

x \ne \pi/2 + k\pi

正切函数的图象与性质

正弦与余弦取自单位圆上交点的两个坐标，值域都是 $[-1,\ 1]$ ，图象连成一条不断的波。正切取的是两个坐标之比，行为随之两样：它没有上下界，定义域有洞，最小正周期也只有正弦余弦的一半。这些差别都能从同一张单位圆图上读出来。

1 · 单位圆右侧的切线段

过单位圆上的点 $A(1,\ 0)$ 作圆的切线，得到竖直直线 $x = 1$ 。角 $\theta$ 的终边所在直线与这条切线交于 $T$ ， $T$ 的纵坐标就是 $\tan\theta$ 。理由是相似：终边上任一点 $(x,\ y)$ 满足 $y/x = \tan\theta$ ，而 $T$ 的横坐标恰为 $1$ ，纵坐标便等于这个比值。

与切线相交的是终边所在的整条直线，不是终边这条射线。第三象限的角因此也能交到切线上，交点落在 $A$ 上方，与第一象限同号，对应 $\tan$ 在一、三象限取正值。

图 1-1 · 单位圆右侧切线

x = 1

上的有向线段

AT

，其长度与方向即

\tan\theta

。可拖动

\theta

观察终边逼近

y

轴时交点被推向远处，以及终边落在

y

轴上时交点消失。

2 · 定义域挖掉的那一串点

$\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ 在 $\cos\theta = 0$ 处没有定义，对应终边落在 $y$ 轴上，即

x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k \in \mathbb{Z}

几何上这些角的终边与切线 $x = 1$ 平行，交点不存在。定义域是一串被挖掉的孤立点，剩下的部分是无穷多个开区间 $(-\pi/2 + k\pi,\ \pi/2 + k\pi)$ 。值域则是整个 $\mathbb{R}$ ： $T$ 可以沿切线跑到任意高处。

3 · 最小正周期 π

正弦与余弦的最小正周期是 $2\pi$ ，正切只有 $\pi$ 。原因在于取比值这一步： $\theta$ 增加 $\pi$ 后终边转到反方向，交点由 $(x,\ y)$ 变为 $(-x,\ -y)$ ，两个坐标同时变号，比值不变。这正是诱导公式与终边的对称 §2 里原点对称那一组的直接推论：

\tan(\pi + \theta) = \frac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \tan\theta

$\pi$ 确实是最小的正周期，而不只是某个周期。若存在更小的正周期 $T$ ，取 $\theta = 0$ 可得 $\tan T = 0$ ，而 $(0,\ \pi)$ 内正切没有零点。

4 · 渐近线与采样

在每个开区间的两端， $\cos\theta \to 0$ 而 $\sin\theta$ 不趋于零，比值的绝对值无限增大，直线 $x = \pi/2 + k\pi$ 是曲线的渐近线 (asymptote)。曲线被渐近线切成互不相连的分支，每个分支从下方无限低处升到上方无限高处。

图 4-1 · 区间

[-2\pi, 2\pi]

上的正切曲线，四条虚线是渐近线，曲线被切成五段。可拖动标记点并开启配对显示，比较相隔

\pi

的两点取值。

警示 · 直接对 $y = \tan x$ 等距采样再连成折线，会在渐近线两侧连出一条贯穿画布的伪竖线，看上去像是曲线在那里竖直穿过。挡掉它不能靠 Number.isFinite。Math.tan(Math.PI / 2) 返回的是 16331239353195370，一个有限的双精度数——因为 Math.PI / 2 与真正的 $\pi/2$ 差着 6.123233995736766e-17，正切在该点取的是这个偏差的倒数。同理 Math.tan(3 * Math.PI / 2) 返回 5443746451065123，恰是前者的三分之一；Math.tan(5 * Math.PI / 2) 是五分之一。第 $k$ 条渐近线处的偏差是第一条的 $2k+1$ 倍，得到的「无穷大」也就成比例地小。trig.ts 里的 tanSegments 因此做两件事：按渐近线切段，再丢弃绝对值超过阈值的点。

5 · 分段递增与整体递增

正切在每个开区间 $(-\pi/2 + k\pi,\ \pi/2 + k\pi)$ 内单调递增，但把这些区间合起来说「 $y = \tan x$ 是增函数」是错的。取 $x_1 = \pi/4$ 与 $x_2 = 3\pi/4$ ，有 $x_1 < x_2$ 而 $\tan x_1 = 1 > \tan x_2 = -1$ 。单调性是定义在一个区间上的性质，跨过定义域的洞就不再成立。图 4-1 里段与段之间没有连线，画的就是这件事。

正切是奇函数， $\tan(-x) = -\tan x$ ，图象关于原点对称；每个 $(k\pi/2,\ 0)$ 都是它的对称中心，其中 $k$ 为偶数时是曲线上的点， $k$ 为奇数时落在渐近线上。它没有对称轴，这一点与正弦与余弦的性质不同。

6 · 参考文献

Trigonometric functions. Wikipedia. 正切的定义、定义域与值域。https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions
Asymptote. Wikipedia. 渐近线的定义与竖直渐近线。https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote
Monotonic function. Wikipedia. 分段递增与整体递增的区别。https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
Machine epsilon. Wikipedia. Math.PI / 2 与 $\pi/2$ 的偏差量级。https://en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon