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复数 · 一个点、一次旋转

实数集里 $x^2 = -1$ 无解，而这个方程的解在几何上并不神秘：有一个变换连做两次等于「取相反数」，那就是绕原点转 90°。承认这个变换是一个数，记作 $i$ ，数集就扩到了复数，平面上的每个点都成了一个数。

本系列五页沿着「代数写法 → 几何意义」走一遍。前三页把 $a + bi$ 的形式、相等的判据与四则运算钉住：除法的关键一步是分母实数化， $i$ 的整数次幂以 4 为周期，而判别式为负的实系数二次方程给出一对共轭虚根，代数基本定理随即说明这一次扩充之后不必再造新数。后两页转到几何：模是到原点的距离，|z − z₀| 是两点间的距离，因而距离条件直接给出圆与直线；三角形式则把乘法读成旋转加伸缩，复数开方随之变成把圆等分。

几处浮点上的实测顺手记在正文里：同一个 $(1 + i)^2$ 走展开式给 0 + 2i，走「模相乘、辐角相加」给 1.2246e-16 + 2.0000000000000004i，相等判定因此只能带容差； $n$ 次单位根代回 $z^n$ 的残差随 $n$ 线性长，n = 1000 一档已到 1.008e-12；求根公式在 $b$ 远大于 $\sqrt{4ac}$ 时把小根的有效位抵消掉大半， $a = 1$ 、 $b = 10^8$ 、 $c = 1$ 一档的相对误差是 25.5%。

概念与运算

虚数单位 $i$ 、实部与虚部、复数相等的两个实数方程、复平面上的点与向量；加减乘除四则运算，除法的分母实数化，以及 $i$ 的幂那个长度为 4 的周期。判别式为负的实系数二次方程在这里闭环：两个根共轭成对，而代数基本定理保证这次扩充之后不必再造新数。

a + bi

复数的概念与复平面

承认一个平方为 −1 的数 i，数集从实数扩到复数，每个复数写成 a + bi。相等要求实部与虚部同时相等，一个复数等式抵两个实数方程；复平面把每个复数摆成一个点，共轭是关于实轴的镜像。

i² = −1

四则运算与 i 的幂

加减法逐部进行，对应向量的平行四边形法则；乘法按 i² = −1 展开，除法把分母乘上共轭化成实数。i 的整数次幂以 4 为周期，实现按余数查表而不走三角函数。

b² − 4ac < 0

实系数二次方程的复数根

判别式为负时把根号下的负数写成 i 乘一个算术平方根，求根公式照旧给出两个根，它们互为共轭、在复平面上关于实轴对称。根与系数的关系在复数域仍成立，而代数基本定理保证这次扩充之后不必再造新数。

复数没有大小，能比大小的是模

实数集上的序与四则运算相容：a < b 蕴含 a + c < b + c。复数集上装不出这样的序——若 i > 0，两边乘 i 得 i² = −1 > 0，与 −1 < 0 矛盾；若 i < 0，同样乘 i 得 −1 > 0。所以「哪个复数更大」这句话本身没有意义，题目里能排序的一律是模或实部这类实数。这也是本系列的核心模块里不提供任何 lt / gt 的原因：类型上就不给出这条路。

几何意义

模是距离，距离条件给出轨迹：|z − z₀| = r 是圆，|z − z₁| = |z − z₂| 是中垂线。三角形式把乘法读成一次旋转加一次伸缩，开方则把圆等分成 $n$ 份。

|z − z₀| = r

模与距离给出的轨迹

模是复数对应的点到原点的距离，满足 |zw| = |z||w| 与三角不等式。把模读成距离，条件 |z − z₀| = r 就是圆、|z − z₁| = |z − z₂| 就是中垂线，含参数时还要讨论退化成一个点或空集的情形。

旋转 + 伸缩

三角形式与乘法的旋转

把复数写成模与辐角两个参数，乘法就成了辐角相加、模相乘，即一次旋转加一次伸缩。开方随之变成把圆等分：n 次方根有 n 个，均匀分布在同一个圆上，其中 1 的那一组是 n 次单位根。

辐角主值有两套区间约定

课本把辐角主值取在

[0, 2\pi)

，而 Math.atan2 返回的是

(-\pi, \pi]

——两套约定在负虚部一侧差一整圈：

z = -i

在课本口径下是 270°，atan2 给 −90°。实现里统一折算到

[0, 360)

，顺手吃掉了负零的分歧：Math.atan2(0, -0) 是

\pi

而 Math.atan2(-0, -0) 是

-\pi

，加一圈后同落到

\pi

。另一处 atan2 自作主张的地方是原点：Math.atan2(0, 0) 返回 0，而零复数的辐角本无定义，故核心模块的 arg 在原点处返回 null 而不是 0。