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平面向量 · 从有向线段到数量积

向量(vector)与只有大小的标量(scalar)不同：它同时携带大小(magnitude)与方向(direction)。几何上把它画成一条有向线段——只要方向相同、长度相等，无论起点在哪，都是同一个向量。这一「与起点无关」的自由，正是向量运算得以成立的前提。

本系列分三条线推进。先看线性运算：加法的三角形法则与平行四边形法则、减法、数乘 λa，全部在可拖动的画布上即时成图。再问这些运算的覆盖能力：任给一组不共线的向量作基底，平面内每个向量都有唯一一组分解系数，而坐标 (x, y) 不过是取正交单位基底后的特例，逐分量算术由此而来。最后引入数量积 a·b，用一个数刻画夹角与垂直，并把它展开成投影与正交分解——到这一步，菱形对角线垂直、三角形三条中线共点这类命题都能纯靠计算证完，斜面上重力的分解也是同一个式子。

向量与线性运算

向量是有向线段：方向相同、模相等即为同一向量，与起点无关。在此之上定义三种线性运算——加法（三角形 / 平行四边形法则）、减法、数乘 λa，它们都可在画布上拖动观察。

vector · 三角形 / 平行四边形法则 · λa

向量的概念与线性运算

向量是大小加方向，几何上是有向线段。加法用三角形或平行四边形法则，减法指向被减向量，数乘只伸缩不转向。

 基底、坐标与数量积

不共线的两个向量构成基底，平面内任一向量在它下面的分解系数存在且唯一；坐标 (x, y) 是取正交单位基底后的特例，线性运算随之化为逐分量算术。数量积 a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂ 把长度、夹角与垂直统一进一个数，展开来看就是投影与正交分解。

basis · v=λ1e1+λ2e2v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 · D≠0D \ne 0

平面向量基本定理与基底

不共线的两个向量构成基底，平面内任一向量在它下面的分解系数存在且唯一。坐标表示是取正交单位基底后的特例。

 components · a=(x,y)a = (x, y) · ∣a∣=x2+y2|a| = \sqrt{x^2+y^2}

坐标表示：向量就是一对坐标

配上直角坐标系后，线性运算变成逐分量算术，模由勾股定理给出。拖动向量即可逐分量读出每一步计算。

 dot product · a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ=x1x2+y1y2a \cdot b = |a||b|\cos\theta = x_1x_2+y_1y_2

数量积：用一个数刻画夹角与垂直

数量积有几何式与坐标式两种等价形式，等于一个向量在另一个方向上的投影长度乘以后者的模，为零即两者垂直。

 projection · ∣b∣cos⁡θ|b|\cos\theta · a⋅b∣a∣2a\frac{a \cdot b}{|a|^2} a

投影向量与投影数量

投影数量是带符号的实数，投影向量是与 a 共线的向量，两者相差一个单位向量的倍数。正交分解把 b 拆成平行与垂直两部分。

数量积的结果是标量，不是向量

a·b 读作「a 点乘 b」，但它算出来是一个数（标量），不再有方向——这也是它叫「数量积」的原因。别把它与结果仍是向量的运算（如三维里的叉积 cross product）混为一谈。正因为结果是标量，a·b 才能直接用来比较大小、判断正负：a·b > 0 表示夹角为锐角、< 0 为钝角、= 0 恰为直角。 向量的应用 · 几何证明与力的分解

把垂直写成 a·b = 0、把长度写成 |a|² = a·a、把三点共线写成 b = λa，平面几何的证明就变成了代数计算，辅助线与角度追踪一概省去。同一套运算在力学里对应力的合成与分解，以及恒力做功 W = F·s。

apply · a⋅b=0a \cdot b = 0 · ∣a∣2=a⋅a|a|^2 = a \cdot a · W=F⋅sW = F \cdot s

向量法解平面几何与力学问题

垂直、长度、共线三类几何条件都能翻译成向量运算，证明随之变成代数计算。力的合成、分解与做功用的是同一套式子。

向量法适合哪一类题

题面里出现垂直、长度、中点、共线、定比分点这几类条件时，向量法通常最短：它们各有一个不含角度的等价式子，联立后是纯代数。反过来，涉及圆周角、相似比、共圆这类条件时，向量写法往往比综合几何更绕——没有一条像 a·b = 0 那样直接的翻译。选哪条路，看条件能不能一步译成运算。

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