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圆锥曲线 · 从三套定义到一个方程

三族曲线各有一套「距离」定义，写出的标准方程也各不相同：椭圆的两项同号，双曲线差一个负号，抛物线只剩一个平方项。但它们不是三件事——把「到焦点的距离与到准线的距离之比」取作参数，三族就是这个比值落在 < 1、= 1、> 1 三段上的结果。这个比值就是离心率，它只刻画形状而不管大小：整条曲线按同一比例放大，e 不变。

本系列前三页各走一族的定义与标准方程，把 a、b、c、p 之间的关系钉住（椭圆 a² = b² + c²，双曲线 c² = a² + b²，两式差在谁是最大的那一个）。后三页横着走：离心率与统一定义、焦半径与焦点弦（三族共用 |AB| = 2l/|1 − e²cos²θ|）、以及直线与曲线的联立。联立那一页有一处判据值得单记：二次项系数为零时方程退化成一次，只有一个公共点，但这不是相切——双曲线与渐近线平行的直线、抛物线与对称轴平行的直线都落在这一支，而它们在「公共点个数」这一列上与相切长得一样。

三族的定义与标准方程

椭圆由距离之和定义、双曲线由距离之差定义、抛物线由到点与到线的距离相等定义。三页各自把定义化成标准方程，并交代 a、b、c、p 的关系与常见的判据混用之处。

r₁ + r₂ = 2a

椭圆的定义与标准方程

到两个定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，常数必须大于两定点的距离。标准方程 x²/a² + y²/b² = 1 中 a² = b² + c²，三个量里知道两个即可定出第三个。

|r₁ − r₂| = 2a

双曲线与渐近线

到两个定点距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，常数须小于两定点的距离。标准方程里 c² = a² + b²，渐近线是 y = ±(b/a)x，曲线贴向它但永不相交。

到焦点 = 到准线

抛物线的焦点与准线

到一个定点与一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线。标准方程 y² = 2px 中焦点为 (p/2, 0)、准线为 x = −p/2，p 同时是通径的一半。

「一个公共点」的两种来历

相切是二次项系数不为零而判别式为零；退化是二次项系数本身为零，方程降成一次。后者在双曲线上是与渐近线平行的直线，在抛物线上是与对称轴平行的直线，而椭圆没有——它的二次项系数 1/a² + k²/b² 恒为正，这正是椭圆有界的代数表现。这个退化在浮点下是刀刃上的平衡: x²/4 − y²/9 = 1 与 y = 1.5x + 2 的二次项系数恰为零, 得唯一交点 x ≈ −2.1667; 斜率改成 1.5 + 1e-9, 系数变成 −3.3e-10, 照公式解出的第二个根落在 x ≈ −2.0e9 处 —— 数学上它是真的, 但坐标本身已被相消吃掉大半有效数字。故容差取相对量。

离心率、焦点弦与联立

离心率把三族接成一套，极坐标下共用一个方程；焦半径与通径由定义直接得出；直线与曲线的联立则要先看二次项系数、再看判别式——两个「一个公共点」的情形必须分开。末页回到求轨迹本身：五种方法各有判据，而每种都要回头检验方程的解集有没有比轨迹多出点来。

e < 1 · = 1 · > 1

离心率与三族的统一定义

到焦点与到准线的距离之比恒为离心率 e，这一条把三族统一起来：e < 1 是椭圆，e = 1 是抛物线，e > 1 是双曲线。极坐标下三族共用 r = l/(1 + e·cos θ)。

2b²/a · 2p/sin²θ

焦半径、通径与焦点弦

焦半径由定义直接给出，抛物线的写法最简。通径是过焦点垂直于对称轴的弦，长度 2b²/a（抛物线 2p），它是抛物线焦点弦的最小值。

判别式 · 弦长 · 点差法

直线与圆锥曲线的联立

联立消元得到一元二次方程，判别式给出公共点个数，韦达定理给出弦长 √(1+k²)|x₁−x₂|。二次项系数为零时方程退化，只有一个公共点却不是相切；中点弦用点差法。

θ = 90° 那条焦点弦写不成 y = k(x − x_F)

Math.tan(Math.PI / 2) 在双精度里是 1.633e16 而不是 Infinity。把它当斜率代入联立后的二次方程：二次项系数 k² 与常数项都在 2.67e32 量级，判别式是两个 2.85e65 量级的数相减，有效数字全部抵消，算出的判别式落在零附近，于是这条通径被判成「相切」。改用一般式的竖直写法 x = x_F 即得两个交点、弦长恰为 2p。教训不在「浮点不可靠」，而在参数化的选择决定了哪些情形会退化：斜率参数化把竖直线推到参数的无穷远处，一般式里它只是 B = 0 的一个普通取值。

五种方法 · 纯粹性检验

轨迹方程的求法

求轨迹的产物是一个方程加一份剔除清单，方程的解集与轨迹点集必须互相包含。直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法各有适用的判据。阿波罗尼斯圆是定义法的样板，比值趋于 1 时它退化成中垂线。

定义法认出椭圆之后还欠一条

动圆 P 与 ⊙C₁（圆心 (−3, 0)、半径 1）外切、与 ⊙C₂（圆心 (3, 0)、半径 r₂）内切，两条距离之和恒为 1 + r₂，认出椭圆定义即可写出方程。漏掉的是动圆半径 R = |PC₁| − 1 必须为正：C₁ 本身是这个椭圆的焦点，|PC₁| 的最小值是 a − c，于是要求 r₂ > 7。构型原先给 r₂ 的下界取 5.5，单测第一次跑就断在这里，r₂ = 6 时左顶点处 R = −0.5，那一段动圆根本不存在。存在性约束不出现在化简过程里，因此也不会被「解集与轨迹是否相等」之外的任何检查捞出来。