振动与波 · 从简谐运动到驻波

力学问的是一个质点从哪来、到哪去；本系列的对象换成周期性的状态：位移一次次回到原处，值得追问的不再是终点在哪，而是振幅、周期与相位。最简单的一类是简谐运动——位移随时间按余弦规律变化，理解相位关系最直接的方式是参考圆：一个点在圆上匀速转动，投影到直径上走出的正是这条曲线。$a=-\omega^2x$ 是它的判定性特征，弹簧振子与单摆各自给出一套角频率公式。

把一个振动交给介质，相邻质点依次滞后地重复它，就成了机械波：传播的是振动状态与能量，介质本身并不随波迁移。波速由介质决定、频率由振源决定、波长是两者的结果，三者满足 $v=\lambda f$。这里有一处经典的混淆：波形图是某一时刻各质点位移的空间快照，振动图是某一质点位移随时间的历史，横轴含义完全不同——把波形沿传播方向做一次极小平移，就能从波形图直接读出质点下一时刻往哪走。

两列波相遇时不像粒子那样互相改变：任一点的位移只是各列波单独引起位移的代数和。当两个波源频率相同、相位差恒定，这种叠加给出空间中一套固定的强弱分布，即干涉；两列振幅相同、方向相反的波叠加则给出驻波，波形不再传播，波节与波腹交替固定。两端固定的弦只能容纳 $L=n\lambda/2$ 的一组波长，这正是弦乐器音高的来源。

简谐运动 · 振动的最简形式

位移按余弦规律变化，参考圆把位移、速度、加速度三者的相位关系一次说清；$a=-\omega^2x$ 是判定性特征，弹簧振子与单摆各给出一套角频率公式。能量视角下，动能与势能此消彼长，总机械能 $E=\tfrac12kA^2$ 与振幅的平方成正比。补上阻力项与周期性外力后，阻尼比 $\zeta$ 分出三支解，受迫振动的响应幅值在固有频率附近出现共振峰。

参考圆与相位

简谐运动的描述

简谐运动的位移按余弦规律变化，最直观的理解方式是参考圆——匀速圆周运动投影到直径上，走出的正是这条曲线。$a=-\omega^2x$ 是判定简谐运动的核心特征；弹簧振子与单摆各自给出一套角频率公式。

动能与势能守恒

简谐运动的能量

简谐运动中动能与势能相互转化，理想情形（无摩擦、无空气阻力）下二者之和保持不变，即总机械能 $E=\tfrac12kA^2$。振幅越大，总机械能按平方关系增长；经过平衡位置时动能最大、势能为零，到达最大位移处时动能为零、势能最大。

ζ · Q · 共振曲线

阻尼振动与受迫共振

真实振子的振幅按 $e^{-\gamma t}$ 衰减，阻尼比 $\zeta=\gamma/\omega_0$ 一个数就分出欠阻尼、临界阻尼与过阻尼三支解。周期性外力驱动下系统趋于稳态，响应幅值在固有频率附近达到峰值；位移共振与速度共振的峰位并不相同，半功率带宽精确等于 $2\gamma$。

机械波 · 把一个振动传下去

振源带动相邻质点依次滞后振动，传播的是振动状态与能量，介质质点本身不随波迁移。横波与纵波的区别在振动方向与传播方向的关系，$v=\lambda f$ 把三个量绑在一起。波形图与振动图横轴含义不同，微平移法从波形图直接判出质点的运动方向。源或观察者相对介质运动时接收频率发生偏移，源速超过波速则波前收进马赫锥。

横波 · 纵波 · v=λf

机械波的产生与传播

机械波由振源带动介质中相邻质点依次滞后振动而成，传播的是振动状态与能量，质点本身只在平衡位置附近振动。按振动方向与传播方向的关系分为横波与纵波，波速、波长与频率满足 v=λf。

微平移法判方向

波形图与振动图

波形图是某一时刻各质点位移对位置的快照，横轴是位置；振动图是某一质点位移对时间的历史，横轴是时间——两者不能混用。已知传播方向时，把波形沿传播方向做一次极小平移，比较同一位置的新旧高度，就能判断质点下一时刻的运动方向。

源动与观察者动 · 马赫锥

多普勒效应

源或观察者相对介质运动时，接收频率不等于源频率。源动改变的是波长、观察者动改变的是相遇率，两者的公式并不对称。源速超过波速后波前不再能追上源，全部波前落进半角 $\arcsin(1/Ma)$ 的马赫锥内。

干涉与驻波 · 两列波相遇之后

叠加原理说任一点的位移是各列波位移的代数和。频率相同、相位差恒定的两个源给出稳定的强弱分布：路程差为 $k\lambda$ 处加强、$(k+\tfrac12)\lambda$ 处减弱。方向相反的两列波叠加给出驻波，两端固定的边界条件把弦的波长限制成 $L=n\lambda/2$ 的离散集合。频率略异的两个同向分量则给出时间上的强弱涨落，拍频等于两频率之差。

相长与相消干涉

波的叠加与干涉

两列频率相同、相位差恒定的波相遇时，路程差为整数个波长处振动加强，为半整数个波长处振动减弱，由此形成稳定的强弱分布，即干涉图案。

L = nλ/2 的谐振条件

驻波与两端固定的弦

驻波由振幅、频率相同、方向相反的两列波叠加而成，波形本身不再传播，波节与波腹交替出现；两端固定的弦只能容纳满足 L=nλ/2 的一组波长，对应基频与各次谐波。

Δf · 包络 · 调音

拍

两个频率接近的同向波叠加，积化和差把结果拆成快变载波与慢变包络。取绝对值使周期折半，故拍频等于 $|\Delta f|$ 而非 $|\Delta f|/2$。拍频不含符号，调音须另做试探才能定偏高或偏低。

振动、波与它们各自的图

这三组内容层层嵌套：振动是一个质点的时间历史，波是一群质点在空间上的排布，干涉是两套排布叠在一起的结果。三者对应的图也因此不同——振动图的横轴是时间 $t$，波形图的横轴是位置 $x$，干涉图案则是平面上的强弱分布。读图时先看横轴是什么，比记住任何判据都管用。 再往上一层是三角函数：本系列所有曲线都是 $A\cos(\omega t+\varphi)$ 这一族函数的实例，振幅、角频率与初相正好对应那边的 $A$、$\omega$、$\varphi$ 三个参数。

相关链接

简谐运动

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机械波的传播

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叠加、干涉与驻波

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