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三角函数 · 从角到波

初中的角限于 0° 到 180°，是两条边夹出的静态图形。要谈旋转、谈周期运动，先把角的定义放宽：任意角是一条射线绕原点旋转生成的量，逆时针转记正角、顺时针转记负角，转过一整圈还能接着转，于是有了 450°、−120° 这样的角。它落在哪个象限、终边(terminal side)指向何方，才是这一阶段真正关心的。

角有了新的度量方式——弧度制：用终边扫过的弧长来量角，1 rad 就是弧长恰好等于半径时所对的圆心角。换算只有一条：π rad = 180°。把角放到半径为 1 的单位圆上，终边与圆的交点坐标 (cos θ, sin θ) 直接定义了正弦与余弦；让角连续旋转、把纵坐标随角展开成横轴，就得到 y = sin x 的波形。正切取的是两坐标之比，图象随之断成一段段，周期也只有 π。

定义与图象之后是恒等变换。同一个角的三个函数值出自同一个交点，彼此由平方关系 sin²α + cos²α = 1 与商数关系锁死；不同角之间则靠终边的对称换算，π ± α、−α、π/2 ± α 各组诱导公式的来历，无非是终边关于坐标轴、原点或直线 y = x 作一次对称。再往后是两个不相关的角之间的换算：单位圆上两条等长的弦给出 cos(α − β)，其余五条和差角公式与二倍角都由它派生，而把两个系数合成一个振幅的辅助角公式则是它的反用。十三页顺着「角的度量 → 单位圆定义 → 图象、性质与建模 → 同角与诱导 → 和差角与求角」展开，每页都可拖动参数即时观察。

角与弧度 · 度量

先把角从静态图形推广成旋转生成的任意角，再引入弧度制：用弧长度量角，得到 π rad = 180° 与弧长公式 s = rθ。这是后面一切定义与公式的地基。

radian ·

\pi\ \mathrm{rad} = 180°

s = r\theta

角度与弧度：任意角与弧度制

任意角是射线绕原点旋转扫出的量，由终边所在象限刻画。弧度制改用弧长量角，换算 π rad = 180°，弧长 s = rθ。

为什么要引入弧度制

弧度不是给角换个单位那么简单：它把「角」与「弧长」用同一把尺子对齐，于是弧长写成 s = rθ、扇形面积写成 S = ½r²θ，都不再附带 π/180 的换算因子。更关键的是，只有在弧度制下才有 (sin x)′ = cos x 这样干净的微积分结论——用度数会平白多出一个常数。可以说，弧度制是让三角公式退到最简的那个约定。

三角函数 · 定义与图象

把角放到单位圆上，交点坐标 (cos θ, sin θ) 给出正弦、余弦、正切的统一定义；再让角连续旋转，把坐标随角展开成横轴，得到三条曲线，进而看清周期、奇偶、单调区间、对称，以及 y = A·sin(ωx + φ) + b 四个参数各自的几何效果。末页反着走一遍：由一批带噪声的周期观测反求这四个参数，其中角频率已知时模型是线性的，一次就能解出。

unit circle ·

(\cos\theta, \sin\theta)

\tan\theta = y/x

单位圆与三角函数定义

在半径为 1 的单位圆上，终边与圆的交点坐标恰好是 (cos θ, sin θ)，而 tan θ = sin θ / cos θ = y/x。

y = A\sin(\omega x + \varphi)

T = 2\pi/\omega

正弦与余弦曲线

把单位圆上点的纵坐标随角展开到横轴即得 y = sin x。振幅 A 定值域、角频率 ω 定周期、相位 φ 定左右平移。

y = \tan x

T = \pi

x \ne \pi/2 + k\pi

正切函数的图象与性质

正切在单位圆上是右侧切线上的一条有向线段。定义域挖掉 π/2 + kπ，最小正周期是 π 而非 2π，曲线被渐近线切成互不相连的分支。

T = 2\pi

· 奇偶性 · 单调区间 · 对称

正弦与余弦的性质

周期性、奇偶性、单调区间、对称轴与对称中心，都是单位圆上旋转与对称的直接后果。正弦的对称轴是 x = π/2 + kπ，对称中心是 (kπ, 0)。

y = A\sin(\omega x + \varphi) + b

一般正弦型函数的图象变换

振幅、角频率、初相与竖直平移各自的几何效果，以及先平移后伸缩与先伸缩后平移两条路线的平移量为何差一个 ω 因子。

简谐运动 · 最小二乘

三角函数模型与周期数据的拟合

简谐运动的四个参数各有物理意义，由带噪声的观测数据反求它们靠最小二乘。角频率已知时模型对两个新系数是线性的，一组正规方程一次解出；角频率未知才需要一维搜索。

频率已知时不必上非线性优化

拟合 y = A·sin(ωt + φ) + b 看着有四个参数，其中两个还嵌在正弦里面。但和角公式一拆，A·sin(ωt + φ) = (A cos φ)·sin ωt + (A sin φ)·cos ωt，只要 ω 已知，模型对 A cos φ、A sin φ、b 就是线性的，一组 3 × 3 正规方程一次解出，无初值、无迭代、无局部极小。这条捷径值多少是量出来的：同一批 53 个日照读数上，线性法给出残差平方和 0.989797，而在 (A, φ) 平面铺 1000 × 1000 网格搜一百万次仍是 0.989947，追不平。

正切与正弦余弦的三处不同

正切不是「第三条波」。它的值域是整个实数轴而非 [−1, 1]；定义域挖掉了 π/2 + kπ，图象被渐近线切成互不相连的分支；最小正周期是 π 而不是 2π。由此还派生出一个常见错答：正切在每个区间内递增，但整条曲线并不递增——tan(π/4) = 1 却大于 tan(3π/4) = −1。

恒等变换 · 同角关系与诱导公式

同一个角的三个函数值只有一个自由度：平方关系与商数关系把它们锁在一起，符号由象限裁决。不同角之间的换算则统一于终边的对称——π ± α、−α、π/2 ± α 各组诱导公式，都是坐标的一次翻转或互换。

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha

同角三角函数的基本关系

平方关系是单位圆上的勾股定理，商数关系由正切的定义式直接给出。已知其中一个函数值反求另外两个时，符号由终边所在象限裁决。

\pi \pm \alpha

-\alpha

2k\pi + \alpha

\pi/2 \pm \alpha

诱导公式与终边的对称

每一组诱导公式都对应终边的一次对称或旋转，公式的正负号由变换后的终边落在哪个象限决定。口诀「奇变偶不变，符号看象限」由此得到几何解释。

不必逐条背诵的十二个等式

六组诱导公式各含正弦与余弦两条，合计十二个等式，逐条记忆既费力又易错。它们的来历只有四种点变换：关于 x 轴翻转纵坐标、关于 y 轴翻转横坐标、关于原点两者同翻、关于直线 y = x 两者互换。口诀「奇变偶不变，符号看象限」的前半句说的是坐标有没有互换，后半句说的是翻转带来的正负号。记住变换，公式当场就能推出来。

和差角 · 两个角之间的换算

诱导公式只处理一个角的对称像，两个互不相关的角要靠和差角公式接通。它由单位圆上两条等长的弦推出，令两角相等给出二倍角，两两相加减给出积化和差与和差化积，反过来把两个系数合成一个振幅则是辅助角公式。末页处理反方向的问题：给定函数值求角，答案的唯一性由范围而非代数决定。

cos(α ± β) · 2α

和差角公式与二倍角公式

单位圆上两条等长的弦给出差角余弦，其余五条公式由它经诱导公式与商数关系派生。令两角相等即是二倍角，反解则得降幂公式。

2sin α cos β · 拍频

积化和差与和差化积

和差角公式两两相加减即得积化和差，换元后倒着读就是和差化积。两个频率相近的正弦叠加由此写成慢包络乘快载波，拍频等于两个频率之差。

拍频等于频率差，不是它的一半

两个等幅正弦叠加，和差化积把它写成一个快载波乘一个慢余弦。慢余弦的频率是 |Δf|/2，但听感响应的是振幅的绝对值，|cos| 的周期只有 cos 的一半，于是每秒的响度极大值是 |Δf| 次。440 Hz 与 443 Hz 同响，载波 441.5 Hz、包络因子 1.5 Hz，而耳朵每秒听到 3 下。振幅不等时包络的下界抬到 |a₁ − a₂|，拍点只是变弱而不静音：取 a₁ = 1、a₂ = 0.9，按载波周期逐个取峰实测到的谷是 0.100065。

化一 · 区间最值

辅助角公式与三角式的最值

两个系数可以合成一个振幅：a·sin x + b·cos x 化为 R·sin(x + φ)，其中 R 是系数向量的长度。化一之后值域立刻可读，但区间上的最值仍须验峰谷是否落在区间内。

正切的和角公式在直角处不会报错

tan(α + β) 的分母 1 − tan α · tan β 在 α + β = π/2 处数学上为零，双精度下不是：Math.tan(Math.PI / 4) 算出的是 0.9999999999999999，于是分母等于 2.220446049250313e-16（恰好是 Number.EPSILON），照公式算出的 tan 90° 是 9007199254740991，也就是 2 的 53 次方减 1。换 30° + 60° 那一组，分母是 3.3306690738754696e-16，结果 6933745219159076。两个数的量级与符号都正常，看不出任何异常，所以判定极点必须按角来判，等分母报零是等不到的。

先缩范围再定角

给值求角与凑角的拆法

求角比求值多一步唯一性。待求角先写成已知角的和差凑出来，再由范围决定该用哪个函数反解：余弦在 0 到 π 上单射，正弦不是。

区间最值与值域是两件事

化一之后值域一眼可读：a·sin x + b·cos x 的值域是 [−R, R]。但把 x 限定在一个闭区间上，峰点 x = 90° − φ 与谷点 x = 270° − φ 未必落在里面，落不进去时最值由端点取到。取 a = 1、b = √3（R = 2、峰在 30°）、区间取 [45°, 90°]，实测最大值是 1.9318516526，比 R 少 0.0681483474。故 harmonicRange 的候选点只有三类：两个端点、区间内的峰、区间内的谷，并额外报出「峰在不在区间内」这一位，而不是直接返回 ±R。

求角先看范围, 再挑函数

求值只需代入，求角多一步唯一性。判据是待求角的范围上该函数是否单射：范围内部含有一个峰、谷或极点，同一个函数值就对应两个角。三个函数同时单射的范围只有锐角区间 (0, π/2)；放宽到 (0, π) 就只剩余弦。把 v 取 0.01 到 0.99 共 99 个值逐个反解，用余弦定角 99 个全部唯一，用正弦定角 99 个全部两解。三角形的内角正落在 (0, π) 内，这条判据因此也决定了解三角形该先用哪条定理。