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力学 · 从描述运动到万有引力

力学的起点是描述：位置对时间的 $x$ - $t$ 图，斜率是速度；速度对时间的 $v$ - $t$ 图，面积是位移。匀变速直线运动的三个公式由这两条几何事实一次导出，自由落体与竖直上抛不过是同一套公式在 $a=-g$ 时的取值。接着牛顿运动定律补上「加速度从哪来」这一环：不受力时运动本身不需要维持，合力不为零时 $F=ma$ 唯一地定下加速度——电梯里体重计读数的涨落是它最日常的验证，全程变的只是地板给出的支持力。

把这套一维的语言拆成两个方向，就得到抛体运动：水平匀速、竖直自由落体，一条弯曲的抛物线只是两条直线运动画在同一张图上的样子。圆周运动则换了另一半前提——速度大小不变、方向时刻在转，加速度转而指向圆心；向心力从来不是第五种力，而是重力、张力、摩擦力当中某一个在圆周几何下扮演的角色，竖直平面内的临界速度正是这个角色演不下去的那一刻。

后三组换账本。功与能不追踪加速度随时间的细节，只看始末两个状态的差值：动能定理对任意力成立，机械能守恒只是它在「唯一做功的力是重力」这一条件下的特例。动量与冲量则把账记在时间上，碰撞的持续时间极短、外力冲量可忽略，于是不问过程细节也能解出末速度。最后万有引力定律把「力从哪来」这个问题推到天上：苹果落地与卫星绕地用的是同一个 $F=GMm/r^2$ ，区别只在取哪个 $r$ 。

描述运动 · x-t 图、v-t 图与三个公式

直线运动的全部信息压缩进两张图： $x$ - $t$ 图的斜率是速度（割线是平均速度，切线是瞬时速度）， $v$ - $t$ 图的面积是位移。匀变速直线运动的三个公式由此导出，不必分别记忆；自由落体与竖直上抛只是同一套参数的特殊取值。而位置与速度本身是相对某个参考系说的，换一个惯性系速度改变、加速度不变。

x-t / v-t 图

位置、速度与匀变速直线运动

位置对时间的图像里，斜率是速度：割线斜率是平均速度，割线收缩成切线得到瞬时速度。当加速度为常数时 v-t 图是一条直线，直线下的面积就是位移，三个常用公式由此一次导出。

a = -g 的特例

自由落体与竖直上抛

自由落体是初速度为零、加速度恒为 g 的匀变速直线运动；竖直上抛只是把初速度换成竖直向上的一个正值，加速度仍是 -g。上升与下降用时相等、落地速度等于抛出速度，都是同一条对称性的结果。

速度合成 · 惯性系

相对运动与参考系

速度依赖于参考系，合成法则是矢量加法 $v_{AC}=v_{AB}+v_{BC}$ 。两个惯性系之间速度差一个常量，加速度因此完全相同，牛顿定律在两者中是同一条方程。加速的参考系不是惯性系，需额外引入惯性力。

牛顿运动定律 · 加速度从哪来

第一定律划出基线：不受力或合力为零时，物体保持静止或匀速直线运动，运动本身不需要力来维持。第二定律把基线之外的情形钉成一个等式 $F=ma$ ，合力的大小与方向唯一决定加速度。电梯里的超重与失重是它最容易亲手验证的场景。摩擦力的大小往往不由公式给出而由平衡条件定，多个物体连在一起时则用整体法求加速度、隔离法求内力。

F = ma

力与运动：牛顿第一、第二定律

不受力或合力为零时，物体保持静止或匀速直线运动，运动本身不需要力来维持。合力不为零时，加速度与合力方向相同、大小与质量成反比，这就是 F = ma。

静摩擦的上限 · 休止角

摩擦力

静摩擦力的大小由平衡条件决定， $\mu_sN$ 只是它的上限；滑动摩擦力才等于 $\mu_kN$ 。由于 $\mu_k<\mu_s$ ，物体刚开始滑动时摩擦力突然跌落。斜面上物块开始下滑的临界倾角满足 $\tan\theta_c=\mu_s$ ，与质量无关。

N = m(g ± a)

受力分析：超重与失重

电梯里体重计的读数等于地板对人的支持力，不等于重力。加速上升或减速下降时支持力比重力大，读数偏高，叫超重；减速上升或加速下降时支持力比重力小，读数偏低，叫失重；支持力降到 0 是完全失重。

整体求加速度 · 隔离求内力

连接体与整体隔离法

几个物体由绳或接触连在一起时，整体法把它们当成一个质量为总和的对象求出共同加速度，此时内力不出现在方程里；要求绳中张力必须隔离出其中一个物体。Atwood 机加速时滑轮轴受力小于两物体总重。

抛体运动 · 把初速度拆成两个方向

曲线运动不需要新公式：把初速度按水平与竖直拆开，两个分量各自走的仍是前面那两条直线运动。平抛的落地时间只由发射高度决定，与初速度无关；斜抛的射程在 $45°$ 取最大值， $\theta$ 与 $90°-\theta$ 射程相同。

水平 + 自由落体

平抛运动与落地时间

平抛运动是水平方向匀速直线运动与竖直方向自由落体的独立叠加，轨迹是一条抛物线。落地时间 $T=\sqrt{2h/g}$ 只由发射高度 $h$ 决定，不含初速度 $v_0$ ，这一点对任意 $v_0$ 都成立。

45° 最大射程

斜抛运动与最大射程

斜抛运动把初速度按发射角分解为水平与竖直两个分量，轨迹仍是抛物线。落点同高度时射程 $R=v_0^2\sin(2\theta)/g$ 在 $\theta=45°$ 取最大值，且 $\theta$ 与 $90°-\theta$ 射程相同。

圆周运动 · 方向变化也是加速度

匀速圆周运动的速率不变、方向时刻在转，加速度因而依然存在，只是垂直于速度、指向圆心，大小为 $a=v^2/r=\omega^2 r$ 。向心力是重力、张力、摩擦力在圆周几何下充当的角色，一旦这个角色所需的力超出实际能提供的上限，就出现临界速度。向心力从来不是第五种力，倾斜的弯道让支持力的水平分量顶上一部分，在设计速率下完全不需要摩擦。

a = v²/r

匀速圆周运动与向心力

匀速圆周运动的线速度大小不变，方向却时刻在转，因而仍有加速度：向心加速度恒指向圆心，大小为 $a=v^2/r=\omega^2 r$ 。向心力不是新增的一种力，而是重力、张力、摩擦力或弹力在圆周几何下充当的角色。

v_min = √(gr)

圆周运动的临界问题

竖直平面内的圆周运动在最高点存在一个最小速度，由 mg = mv²/r 给出 v_min = √(gr)：速度低于这一门槛，轨道形式上要给出负的支持力，实际上物体已经脱离轨道。水平转弯的临界速度由摩擦力提供向心力的上限决定。

向心力从哪来 · 超高

离心现象与弯道倾角

「离心力」不是作用在物体上的力，向心力不足时物体沿切线偏离而非被甩出。水平弯道靠摩擦提供向心力，上限是 $\sqrt{\mu gr}$ ；倾斜路面让支持力的水平分量顶上一部分，在设计速率下完全不需要摩擦。

同一道题的三本账

一个力学问题往往可以按三种记法解：牛顿第二定律逐点追踪加速度，能给出任意时刻的运动状态，但要求把过程中每一段的受力都写清楚；功与能只看始末两个状态的能量差，中间过程再复杂也不必展开，代价是丢掉了时间信息；动量与冲量把账记在时间上，最适合作用时间极短、内力远大于外力的碰撞。三本账互相不矛盾——它们都是

F=ma

的推论，换账本只是换一个提问方式：问「什么时候」用第一本，问「多快」用第二本，问「碰完各自往哪走」用第三本。

功与能 · 换一本只看始末状态的账

力做的功只算沿位移方向的分量。动能定理把合外力做的功与动能变化连成一条等式，不必先求加速度，对任意力都成立；只有重力做功时它退化为机械能守恒——守恒是条件更窄的特例，动能定理本身从不失效。有摩擦时机械能不再守恒，生成的热由摩擦力与相对滑动距离之积给出。

Wnet = ΔEk

功、功率与动能定理

恒力做的功等于力沿位移方向的分量乘以位移，垂直分量不贡献；功率是做功的快慢，瞬时功率等于力沿速度方向的分量乘以速度。合外力做的功等于动能的变化量——这条动能定理不必先求加速度，对任意力都成立。

Ep+Ek 是否恒定

机械能守恒与转化

只有重力（或弹力）做功时，动能与重力势能的总和保持不变，这就是机械能守恒；一旦摩擦参与做功，机械能按摩擦力做的负功大小逐渐减少，减少量转化为内能。动能定理对这两种情形都成立，机械能是否守恒只是它的一个特例判据。

Q=f·Δs 相对

摩擦生热与功能关系

滑动摩擦生成的热由摩擦力与两个接触面之间的相对位移之积给出，不是任一物体在地面上的位移。物块放上传送带时，电动机多做的功一部分变成动能、一部分变成热；初速为零时恰好各占一半，与摩擦系数无关。

动量与碰撞 · 把账记在时间上

动量 $p=mv$ 把质量与速度合成一个矢量，冲量是力在时间上的积累，冲量定理 $J=\Delta p$ 说二者相等。碰撞时间极短、外力冲量可忽略，总动量因而守恒；动能是否守恒另说，恢复系数 $e$ 把弹性、非弹性与完全非弹性碰撞连续地统一进一个参数。静止系统分裂时动量等大反向而动能按质量倒数分配，连续抛射的极限即火箭方程。

J = Δp

冲量与动量定理

动量 p = mv 把质量与速度合成一个矢量；冲量是力对时间的积累，恒力下为 FΔt，变力下是 F-t 图的面积。冲量定理说这两者相等：冲量等于动量的变化量。

守恒 + 恢复系数

动量守恒与碰撞的分类

系统不受外力（或外力远小于内力）时总动量守恒，这条守恒律对任何碰撞都成立。动能是否也守恒则不一定，恢复系数 e 把完全弹性、完全非弹性与一般非弹性碰撞统一进同一个参数。

动量等分 · 动能不等分

反冲与火箭方程

静止系统分裂成两块时动量等大反向，而动能按质量的倒数分配，轻的一块拿走绝大部分。把一次性分裂改成连续抛射得到齐奥尔科夫斯基方程；结构系数给单级火箭的 $\Delta v$ 定了一个与推进剂多少无关的上限。

万有引力 · 苹果与卫星同一个公式

任意两个有质量的物体之间存在 $F=GMm/r^2$ 的吸引力。取 $r$ 为地球半径得到地表的 $g=GM/R^2$ ，取 $r$ 为轨道半径并让引力充当向心力，则解出轨道速度 $v=\sqrt{GM/r}$ ——轨道越高飞得越慢，第一宇宙速度与同步轨道半径都是这条关系式的特解。开普勒三条唯象定律先于牛顿给出，第三定律的严格形式含两体质量之和。

椭圆 · 面积速度 · T²∝a³

开普勒三定律

行星沿椭圆运行、太阳在一个焦点上；矢径在相等时间内扫过相等面积；周期的平方与半长轴的立方成正比。三条定律是从观测数据总结出的唯象规律，牛顿此后由平方反比的引力把它们一并推出。

F = GMm/r²

万有引力定律与地表重力

任意两个有质量的物体之间都存在大小为 GMm/r² 的相互吸引力。地表重力是这条定律在 r 取地球半径时的特例，由此导出 g=GM/R²，也是把地球质量真正称出来的关键一步。

v = √(GM/r)

人造卫星与宇宙速度

卫星绕地做匀速圆周运动时，万有引力恰好充当向心力，解出的轨道速度随半径增大反而减小。第一宇宙速度是近地圆轨道的最小发射速度，地球同步轨道半径由周期恒等于一日这一条件反解得到，两者都是同一条关系式在不同条件下的解。

这七组覆盖到哪里

七组内容对应人教版必修一、必修二的力学部分：运动的描述与匀变速直线运动、相互作用与牛顿运动定律、抛体运动与圆周运动、机械能守恒、动量守恒、万有引力与航天。振动与波（简谐运动、机械波）另立振动与波一系列，因为它换的是研究对象——不再是一个质点从 A 到 B，而是一个系统的周期性状态；电磁学同理见电磁学。全系列只处理质点：不涉及形状、转动与形变，也不涉及相对论修正。